静態時系列を得るための差分法をどのように使いますか?
データと結果のExcelシートは、こちらからダウンロードできます。このデータは、[Box, G.E.P. and Jenkins, G.M. (1976). Time Series Analysis: Forecasting and Control. Holden-Day, San Francisco]の中で得られたもので、 1949年1月から1960年12月までの月次の国際線乗客数（1000人単位）です。これは非静態シーズナル時系列として広く使われています。我々の ゴールは、モデリング・アプローチの前によくある記述分析にどう役立つかを示すことです。
このチャートから全体的に上昇傾向にあり、毎年同様なサイクルが始まり、また年内の振幅は時間とともに増大していることがわかります。この傾向を確 認するために、この系列の自己相関関数を分析します。
XLSTATを開いて、XLSTAT｜XLSTAT-Time｜Descriptive analysis コマンドを選択するか、"XLSTAT-Time" ツールバー（下図）の対応するボタンをクリックしてください。
ボタンをクリックすると、Descriptive analysis ダイアログが現れます。Excelシート上のデータを選択してください。"Variable to analyze"は興味対象の系列、 Passengersに 対応します。データを選択した後、ダイアログ・ボックスの下部を表示するために"More" ボタンをクリックして、 "Partial autocorrelations" オプションを有効にしてください。選択されたデータの最初の行が変数のヘッダーを含んでいるので、"Column labels"オプションは有効にします。
"OK"をクリックすると計算が始まります。そして結果が表示されます。1番目の表は、統計量の概要を示します。そして、"Normality test and white noise tests" （正規性の検定と白色ノイズ検定）の表が表示されます。Jarque-Bera test は、kewness（歪度）係数とkurtosis（尖度）係数に基づく正規性検定です。Chi-square（カイ2乗）統計量の値が大きいと、データ が正規分布していることの帰無仮説がよりふさわしくありません。ここで、帰無仮説が棄却されるときの偽である確率に対応するp値は0.01に近いです。有 意水準alpha=0.05で帰無仮説は棄却されるべきです。
他の3つの検定(Box-Pierce, Ljung-Box, McLeod-Li) が、さまざまなタイム・ラグにおいて計算されます。それらは、データが白色ノイズであると仮定されるかどうかを検定できます。これらのテストは、またカイ 2乗分布に基づきます。それらはすべてデータが白色ノイズプロセスによって生成されたと仮定できないと一致します。また、データの並べ替えは、 Jarque-Bera検定に影響しませんが、時系列分析にとくに適したほかの3つの検定には影響します。
表の下に時系列の記述関数を表示します。2つの棒グラフは、自己相関関数（ACF）の進展と偏自己相関関数（PACF）の進展を示します。95%信 頼区間も表示されます。autocorrelogramから、我々は、12ヶ月であるように見えるseasonalityと同時に、lag 1 の明瞭な自己相関を識別できます。
データの正規性を改善するために、我々は2つの変換を実行します。：
- まず、系列のバラツキの増大を安定化させます。
- 次に、系列の差分によって自己相関を除去します。
これはTime series transformationツールを使って行えます。対応するダイアログ・ボックスを起動するために、XLSTAT/XLSTAT- Time｜Transforming series コマンドを選択するか、"XLSTAT-Time" ツールバー（下図）の対応するボタンをクリックしてください。
ボタンをクリックすると、ダイアログが現れます。Excelシート上でデータを選択してください。 "Variable to analyze"は興味対象の系列Passengers に対応します。データを選択した後、Box-Cox オプションを選択してください。また我々は最適化変換（回帰モデルの尤度 -変換されたY=時間の単線形関数- ができるだけ高くなるようにBox-Cox変換のLambdaパラメータが調整されます）を要求でき、我々はここで、lambda値を系列の対数変換に対 応する0に設定すると決めます。対数変換は、しばしばバラツキの増大を除去するのに良い選択です。それから、トレンドとシーズナルの要素を除去するため に、差分法を使うことを決めます。我々は、トレンドを除去するd値を設定し、12ヶ月のシーズナル要素を除去するために D と s を 1 と12 に設定しました。
"OK"をクリックすると計算が始まります。我々はまずBox-Cox 変換に対応する表とグラフを見ます。変換された系列が下のグラフで見られます。対数変換がバラツキの増大を除去したようです。
つぎに、表とグラフが差分変換を示します。差分法がトレンドを除去したことがわかりますが、白色ノイズかどうかは明らかではありません。
変換が系列を白色ノイズ及び正規分布にしたかどうかを確認するために、変換された系列上で記述分析を実行する必要があります。
Jarque-Bera検定は、系列がより正規サンプルのようになったことを確認します（0.01から0.04に跳ね上がりました）。しかし、白色 ノイズの検定では、変換は十分に効果的ではなかったようです。autocorrelogram は、lag 1とlag 12の要素が今は負の自己相関係数を持っているので、我々がこれを除去しすぎたことを示します。さらにlag 3と9の係数は有意なようです。したがって、潜在的な現象を理解するためにさらなる作業が必要なようです。
